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Vektorgraphik
Einführung
Die Verwendung des Begriffs des Vektors ist darauf zurückzuführen,
daß die graphischen Objekte mit den Beschreibungsmitteln der Vektoralgebra
definiert und mit Hilfe von Vektoroperationen manipuliert werden. Bei Vektorgraphiksystemen
werden die graphischen Objekte als mathematisch beschreibbare Gebilde repräsentiert,
die in einem euclidischen Raum - einem Objektraum, der zwei- oder auch
dreidimensional sein kann - plaziert sind. Dieser Objektraum muß
in einen zweidimensionalen Darstellungsraum abgebildet (projiziert) werden,
der dann ganz oder ausschnittsweise auf dem Bildschirm sichtbar gemacht
wird. Erst beim letzten Schritt, wenn die Art der Projektion und die Größe
des Bildausschnitts festliegen, wird das Bild rasterkonvertiert, damit
es auf dem Bildschirm als Rastergraphik dargestellt werden kann.
Eine erste Einteilung der geometrischen Modellierung bezieht sich auf
die Dimensionalität der Modellierung. Sie unterscheidet zwischen 2D-,
2 1/2D- und 3D-Modellen.
2D-Modelle
2D-Modell, grundsätzliches:
Wie die Bezeichnung nahelegt, wird das Modell nur in zwei Dimensionen
beschrieben. Das rechnerinterne Modell ist somit eine Ansicht bzw. ein
Schnitt des realen Objektes. Dieses Modell kann dann auf verschiedene Weise
(zum Beispiel vergrößert, verkleinert, verzerrt, als Ausschnitt)
auf dem Bildschirm zur Darstellung gebracht werden.
Wenn mehrere Ansichten desselben realen Objektes dargestellt werden
sollen, muß für jede Ansicht ein separates Modell erzeugt werden.
Eine Änderung in einer bestimmten Ansicht (zum Beispiel Grundriss
des Gebäudes) wirkt sich nicht auf eine andere Ansicht (zum Beispiel
Seitenansicht) aus, obwohl sie dasselbe reale Objekt darstellt.
CAD-Systeme, die auf 2D-Modellen basieren, eignen sich selbstverständlich
nicht zur automatischen Erzeugung von Projektionen (Perspektiven, Isometrien),
es sei denn, man legt eine Projektion als eine eigenständige zweidimensionale
Zeichnung an.
2 1/2D-Modell
Bei dieser Art der Modellierung kann einzelnen Linien in einem 2D-Modell,
zum Beispiel den Umrißlinien eines Bauteils, eine (konstante) Höhe
gegeben werden. Aus einer Linie wird ein senkrechtstehendes Rechteck, aus
einem Kreis ein senkrecht stehender Zylinder. Das 2 1/2D-Modell ermöglicht
somit mit einigen Beschränkungen eine dreidimensionale Modellierung
eines realen Objektes. Es lassen sich im Prinzip verschiedene Ansichten
und auch Projektionen aus ein und demselben Modell erzeugen. 2 1/2D-Modelle
eignen sich jedoch nicht für Objekte, die eine variable Höhe
entlang einer Linie aufweisen (zum Beispiel eine geneigte Fläche -
das Dach eines Gebäudes).
Bei der 2 1/2D-Modellierung ist der Objektraum nur zweidimensional.
Die Information über die dritte Dimension ist keine geometrische Information
- zum Beispiel als Z-Koordinate der Anfangs-Endpunkte von Linien innerhalb
eines dreidimensionalen, orthogonalen XYZ-Koordinatensystems - sondern
ist eine Attribut-Information, die einem graphischen Objekt angehaftet
wird, zum Beispiel "Linie 34520 hat den Z-Wert 75mm". Dies hat u.a. die
Konsequenz, daß die Manipulation eines graphischen Objektes am Bildschirm
durchweg in der Ebene erfolgen muß, das heißt das Objekt zwar
in einer Projektion dargestellt, nicht aber in dieser Darstellung auch
editiert werden kann. Desweiteren sind keine Rotations-Operationen auf
das Objekt möglich, welche aber in einer variablen Z-Ausdehnung von
Objektlinien resultieren.
3D-Modelle
3D-Modell, grundsätzliches:
3D-Modelle basieren auf einer vollständigen dreidimensionalen rechnerinternen
Repräsentation des Objekts. Von diesem Modell können dann Ansichten,
Schnitte und Projektionen erzeugt und auf dem Bildschirm dargestellt und
interaktiv bearbeitet werden. Die dreidimensionale Modellierung -konsequent
eingesetzt- resultiert in einer Vermeidung von Redundanz bei der Speicherung
geometrischer Daten: Das reale Objekt wird in seinen Einzelteilen nur einmal
maßlich und strukturell beschrieben, die erforderlichen Architekturpläne
werden auf der Basis dieses einheitlichen Objektmodelles "generiert", und
sind deshalb maßlich stets konsistent. So hat zum Beispiel ein Fenster
in allen Plänen (Grundriss, Ansicht) durchweg dieselben Maße.
Zur Beurteilung von CAD-Systemen, die auf der Grundlage der 3D-Modellierung
arbeiten, ist ein Blick auf die Operationen notwendig, die auf graphische
Objekte angewandt werden können. Von einer vollständigen 3D-Funktionalität
kann erst dann gesprochen werden, wenn bei allen typischen objektmanipulierenden
Operationen (Translation, Dilatation, Rotation, Spiegelung, Kopieren etc.)
keine der drei Hauptrichtungen des Objektraumes bevorzugt oder benachteiligt
wird. Zudem sollte die Anwendung der Operationen unabhängig von der
jeweils verwendeten Darstellungsweise sein. Das bedeutet, daß das
"Bauen" des 3D-Modells unter Einsatz des graphischen Editors sowohl im
Grundriss, in einer Tafelprojektion (Seitenansicht) oder einer perspektivischen
Projektion möglich sein sollte.
Graphische
Elementarobjekte
Für die folgenden Ausführungen seien nur 3D-Modelle in Betracht
gezogen. Eine räumliche Beschreibung läßt sich auf verschiedene
Weisen realisieren. In allen Fällen wird ein komplexes graphisches
Objekt aus Elementarobjekten zusammengesetzt. Das CAD-System ist demnach
mit einem Baukasten zu vergleichen, welcher ein Repertoire von Bausteinen
anbietet, mit denen ein Modell eines architektonischen Objektes gebaut
werden kann. Die Differenzierung der verwendeten graphischen Elementarobjekte
und die Art und der Umfang der auf sie anwendbaren Operationen führt
zu einer weiteren Unterteilung der 3D-Modellierung:
3D-Kantenmodell
Beim Kantenmodell oder Drahtmodell sind die graphischen Elementarobjekte
Strecken (Linien) oder Kurvenstücke, mit denen Objekte beschrieben
werden können. In der Grundform enthält es keine Informationen
über Flächen oder Volumen und ist deshalb nachteilig (bzw. unbrauchbar)
für die Schnittbildung, für die Verbesserung der Sichtbarkeit
(zum Beispiel Elimination verdeckter Flächen und Kanten) oder für
Maßberechnungen. Kantenmodelle sind häufig mehrdeutig interpretierbar.
3D-Flächenmodell
Das Flächenmodell definiert Objekte durch die Kombiation von analytischen
Flächen (Standard-, Rotations-, Translations- oder Regelflächen)
oder approximierenden Flächen (Bezier-, Coons- oder Splineflächen).
Analytisch nicht einfach beschreibbare Flächen können durch die
Angabe von Stützpunkten, Tangentenvektoren sowie durch Krümmungseigenschaften
approximiert werden.
Obwohl ein komplexes Objekt aus einzelnen Flächen zusammengesetzt
werden kann, ist die Information über die Zusammengehörigkeit
dieser Flächen bzw. über ihre Zugehörigkeit zu einem identifizierbaren
Objekt nicht Teil des geometrischen Modelles: die Topologie des Flächenmodelles,
das heißt die strukturelle Information, welche Kanten der Flächen
"zusammengeklebt" sind und damit einen geschlossenen Körper bilden,
ist dem Computer "unbekannt" und wird auch nicht gespeichert. Ein aus Einzelflächen
zusammengesetzter Körper ist nichts anderes als eine Gruppe von untereinander
unabhängigen Flächen.
Ausschließlich durch Flächenmodellierung aufgebaute komplexe
Objekte lassen bei Schnittbildungen zwar die Erzeugung von Schnittkanten,
nicht aber die Erzeugung von Schnittflächen zu (zum Beispiel Schraffur-
von Schnittflächen), da hierzu die topologische Information darüber
fehlt, was bei aus Flächenelementen zusammengesetzten, geschlossenen
Körpern "innen" bzw. "außen" ist.
3D-Volumenmodell
Im Volumenmodell sind die geometrischen Elementarobjekte dreidimensionale
Körper - meist Standard- bzw. Profilkörper - die zu komplexen
Objekten kombiniert werden. Da bei dieser Modellierung die "Körpereigenschaft"
der Objekte, das heißt die Information über die räumliche
Verteilung von Materie explizit berücksichtigt wird, ist sie geometrisch
eindeutig. So können bei Schnitten resultierende Schnittflächen
dargestellt werden, die beim Draht- und Flächenmodell nicht zu ermitteln
sind. Die rechnerinterne Repräsentation wird auf unterschiedliche
Weise durchgeführt.
3D-Volumenmodell mit
Randdarstellung
Bei der sogenannten Randdarstellung (Boundary Representation oder B_Rep
Model) wird ein räumliches Objekt durch seine Begrenzungselemente
beschrieben, das heißt durch orientierte Flächen, Kanten und
Ecken. Eine derartige Volumenmodellierung erfordert einen hohen Eingabeaufwand,
da neben der geometrischen Beschreibung (Lage und Ausdehnung der Einzelflächen
im Raum) auch eine vollständige topologische Beschreibung (Orientierung
der Randlinien der Flächen bzw. Richtung ihrer Normalenvektoren, Auszeichnung
von Flächenrandlinien als gemeinsame Körperkanten) geleistet
werden muß. Desweiteren sind geometrische Eigenschaften (Rauminhalt,
Schwerpunkt, Trägheitsmomente) der Körper schwierig zu überprüfen,
und verlangen oft aufwendige Algorithmen.
3D-Volumenmodell mit
Raumprimitiven
Eine weitere gebräuchliche Darstellungsform für räumliche
Gebilde heißt Konstruktion mit Raumprimitiven (Constructive Solid
Geometry, CSG). Dabei werden komplexe Geometrische Körper durch mengentheoretische
Ausdrücke (Vereinigung, Schnitt und Differenz) über Elementarkörper
wie Prismen (Quader, Zylinder, Keile) Tori, Kegel und Kugeln definiert.
Eine derartige Konstruktion eines Objektes wird als Konstruktionsbaum beschrieben,
bei dem die Blätter von den verwendeten Elementarkörpern belegt
sind und die Knoten die über Mengenoperationen resultierenden Blöcke
repräsentieren. Die Beschreibung eines Objektes mit Hilfe eines Konstruktionsbaumes
ist einfach, aber die graphische Darstellung des Objektes ist rechenaufwendig.
Zudem sind Freiformen schwierig einzubeziehen.
3D-Volumenmodell mit
Parameterdarstellung
Eine gebräuchliche Beschreibung räumlicher Objekte bildet
die parametrisierte Darstellung, welche ganze Objektfamilien umfaßt.
Jedes Element der Familie ist durch eine fixe Anzahl von Parametern charakterisiert.
Die parametrisierte Darstellung eignet sich besonders gut für die
Variantenkonstruktion. Darunter versteht man das automatische Erzeugen
neuer Objekte aufgrund von Parameterwerten. Die rechnerinterne Repräsentation
der Objekte ist von der benutzerorientierten Parameterdarstellung abhängig.
Sie kann in einer der oben beschriebenen Weisen realisiert werden.
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Zeitschrift 2000/10
