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  Inhalt:
 
 

    Einführung 

    2D-Modelle 

    3D-Modelle 

    Graph. Elementarobjekte

    3D-Kantenmodell 

    3D-Flächenmodell 

    3D-Volumenmodell 

    -mit Randdarstellung 

    -mit Raumprimitiven 

    -mit Parameterdarstellung 

    Autor 

Bildbearbeitung: Vektorgraphik 

Einführung

Die Verwendung des Begriffs des Vektors ist darauf zurückzuführen, daß die graphischen Objekte mit den Beschreibungsmitteln der Vektoralgebra definiert und mit Hilfe von Vektoroperationen manipuliert werden. Bei Vektorgraphiksystemen werden die graphischen Objekte als mathematisch beschreibbare Gebilde repräsentiert, die in einem euclidischen Raum - einem Objektraum, der zwei- oder auch dreidimensional sein kann - plaziert sind. Dieser Objektraum muß in einen zweidimensionalen Darstellungsraum abgebildet (projiziert) werden, der dann ganz oder ausschnittsweise auf dem Bildschirm sichtbar gemacht wird. Erst beim letzten Schritt, wenn die Art der Projektion und die Größe des Bildausschnitts festliegen, wird das Bild rasterkonvertiert, damit es auf dem Bildschirm als Rastergraphik dargestellt werden kann.

Eine erste Einteilung der geometrischen Modellierung bezieht sich auf die Dimensionalität der Modellierung. Sie unterscheidet zwischen 2D-, 2 1/2D- und 3D-Modellen.

2D-Modelle 

2D-Modell, grundsätzliches:

Wie die Bezeichnung nahelegt, wird das Modell nur in zwei Dimensionen beschrieben. Das rechnerinterne Modell ist somit eine Ansicht bzw. ein Schnitt des realen Objektes. Dieses Modell kann dann auf verschiedene Weise (zum Beispiel vergrößert, verkleinert, verzerrt, als Ausschnitt) auf dem Bildschirm zur Darstellung gebracht werden.

Wenn mehrere Ansichten desselben realen Objektes dargestellt werden sollen, muß für jede Ansicht ein separates Modell erzeugt werden. Eine Änderung in einer bestimmten Ansicht (zum Beispiel Grundriss des Gebäudes) wirkt sich nicht auf eine andere Ansicht (zum Beispiel Seitenansicht) aus, obwohl sie dasselbe reale Objekt darstellt.

CAD-Systeme, die auf 2D-Modellen basieren, eignen sich selbstverständlich nicht zur automatischen Erzeugung von Projektionen (Perspektiven, Isometrien), es sei denn, man legt eine Projektion als eine eigenständige zweidimensionale Zeichnung an.

2 1/2D-Modell

Bei dieser Art der Modellierung kann einzelnen Linien in einem 2D-Modell, zum Beispiel den Umrißlinien eines Bauteils, eine (konstante) Höhe gegeben werden. Aus einer Linie wird ein senkrechtstehendes Rechteck, aus einem Kreis ein senkrecht stehender Zylinder. Das 2 1/2D-Modell ermöglicht somit mit einigen Beschränkungen eine dreidimensionale Modellierung eines realen Objektes. Es lassen sich im Prinzip verschiedene Ansichten und auch Projektionen aus ein und demselben Modell erzeugen. 2 1/2D-Modelle eignen sich jedoch nicht für Objekte, die eine variable Höhe entlang einer Linie aufweisen (zum Beispiel eine geneigte Fläche - das Dach eines Gebäudes).

Bei der 2 1/2D-Modellierung ist der Objektraum nur zweidimensional. Die Information über die dritte Dimension ist keine geometrische Information - zum Beispiel als Z-Koordinate der Anfangs-Endpunkte von Linien innerhalb eines dreidimensionalen, orthogonalen XYZ-Koordinatensystems - sondern ist eine Attribut-Information, die einem graphischen Objekt angehaftet wird, zum Beispiel "Linie 34520 hat den Z-Wert 75mm". Dies hat u.a. die Konsequenz, daß die Manipulation eines graphischen Objektes am Bildschirm durchweg in der Ebene erfolgen muß, das heißt das Objekt zwar in einer Projektion dargestellt, nicht aber in dieser Darstellung auch editiert werden kann. Desweiteren sind keine Rotations-Operationen auf das Objekt möglich, welche aber in einer variablen Z-Ausdehnung von Objektlinien resultieren. 

3D-Modelle

3D-Modell, grundsätzliches:

3D-Modelle basieren auf einer vollständigen dreidimensionalen rechnerinternen Repräsentation des Objekts. Von diesem Modell können dann Ansichten, Schnitte und Projektionen erzeugt und auf dem Bildschirm dargestellt und interaktiv bearbeitet werden. Die dreidimensionale Modellierung -konsequent eingesetzt- resultiert in einer Vermeidung von Redundanz bei der Speicherung geometrischer Daten: Das reale Objekt wird in seinen Einzelteilen nur einmal maßlich und strukturell beschrieben, die erforderlichen Architekturpläne werden auf der Basis dieses einheitlichen Objektmodelles "generiert", und sind deshalb maßlich stets konsistent. So hat zum Beispiel ein Fenster in allen Plänen (Grundriss, Ansicht) durchweg dieselben Maße.

Zur Beurteilung von CAD-Systemen, die auf der Grundlage der 3D-Modellierung arbeiten, ist ein Blick auf die Operationen notwendig, die auf graphische Objekte angewandt werden können. Von einer vollständigen 3D-Funktionalität kann erst dann gesprochen werden, wenn bei allen typischen objektmanipulierenden Operationen (Translation, Dilatation, Rotation, Spiegelung, Kopieren etc.) keine der drei Hauptrichtungen des Objektraumes bevorzugt oder benachteiligt wird. Zudem sollte die Anwendung der Operationen unabhängig von der jeweils verwendeten Darstellungsweise sein. Das bedeutet, daß das "Bauen" des 3D-Modells unter Einsatz des graphischen Editors sowohl im Grundriss, in einer Tafelprojektion (Seitenansicht) oder einer perspektivischen Projektion möglich sein sollte.

Graphische Elementarobjekte

Für die folgenden Ausführungen seien nur 3D-Modelle in Betracht gezogen. Eine räumliche Beschreibung läßt sich auf verschiedene Weisen realisieren. In allen Fällen wird ein komplexes graphisches Objekt aus Elementarobjekten zusammengesetzt. Das CAD-System ist demnach mit einem Baukasten zu vergleichen, welcher ein Repertoire von Bausteinen anbietet, mit denen ein Modell eines architektonischen Objektes gebaut werden kann. Die Differenzierung der verwendeten graphischen Elementarobjekte und die Art und der Umfang der auf sie anwendbaren Operationen führt zu einer weiteren Unterteilung der 3D-Modellierung: 

3D-Kantenmodell

Beim Kantenmodell oder Drahtmodell sind die graphischen Elementarobjekte Strecken (Linien) oder Kurvenstücke, mit denen Objekte beschrieben werden können. In der Grundform enthält es keine Informationen über Flächen oder Volumen und ist deshalb nachteilig (bzw. unbrauchbar) für die Schnittbildung, für die Verbesserung der Sichtbarkeit (zum Beispiel Elimination verdeckter Flächen und Kanten) oder für Maßberechnungen. Kantenmodelle sind häufig mehrdeutig interpretierbar.

3D-Flächenmodell

Das Flächenmodell definiert Objekte durch die Kombiation von analytischen Flächen (Standard-, Rotations-, Translations- oder Regelflächen) oder approximierenden Flächen (Bezier-, Coons- oder Splineflächen). Analytisch nicht einfach beschreibbare Flächen können durch die Angabe von Stützpunkten, Tangentenvektoren sowie durch Krümmungseigenschaften approximiert werden.

Obwohl ein komplexes Objekt aus einzelnen Flächen zusammengesetzt werden kann, ist die Information über die Zusammengehörigkeit dieser Flächen bzw. über ihre Zugehörigkeit zu einem identifizierbaren Objekt nicht Teil des geometrischen Modelles: die Topologie des Flächenmodelles, das heißt die strukturelle Information, welche Kanten der Flächen "zusammengeklebt" sind und damit einen geschlossenen Körper bilden, ist dem Computer "unbekannt" und wird auch nicht gespeichert. Ein aus Einzelflächen zusammengesetzter Körper ist nichts anderes als eine Gruppe von untereinander unabhängigen Flächen.

Ausschließlich durch Flächenmodellierung aufgebaute komplexe Objekte lassen bei Schnittbildungen zwar die Erzeugung von Schnittkanten, nicht aber die Erzeugung von Schnittflächen zu (zum Beispiel Schraffur- von Schnittflächen), da hierzu die topologische Information darüber fehlt, was bei aus Flächenelementen zusammengesetzten, geschlossenen Körpern "innen" bzw. "außen" ist. 

3D-Volumenmodell

Im Volumenmodell sind die geometrischen Elementarobjekte dreidimensionale Körper - meist Standard- bzw. Profilkörper - die zu komplexen Objekten kombiniert werden. Da bei dieser Modellierung die "Körpereigenschaft" der Objekte, das heißt die Information über die räumliche Verteilung von Materie explizit berücksichtigt wird, ist sie geometrisch eindeutig. So können bei Schnitten resultierende Schnittflächen dargestellt werden, die beim Draht- und Flächenmodell nicht zu ermitteln sind. Die rechnerinterne Repräsentation wird auf unterschiedliche Weise durchgeführt.

3D-Volumenmodell mit Randdarstellung 

Bei der sogenannten Randdarstellung (Boundary Representation oder B_Rep Model) wird ein räumliches Objekt durch seine Begrenzungselemente beschrieben, das heißt durch orientierte Flächen, Kanten und Ecken. Eine derartige Volumenmodellierung erfordert einen hohen Eingabeaufwand, da neben der geometrischen Beschreibung (Lage und Ausdehnung der Einzelflächen im Raum) auch eine vollständige topologische Beschreibung (Orientierung der Randlinien der Flächen bzw. Richtung ihrer Normalenvektoren, Auszeichnung von Flächenrandlinien als gemeinsame Körperkanten) geleistet werden muß. Desweiteren sind geometrische Eigenschaften (Rauminhalt, Schwerpunkt, Trägheitsmomente) der Körper schwierig zu überprüfen, und verlangen oft aufwendige Algorithmen.

3D-Volumenmodell mit Raumprimitiven 

Eine weitere gebräuchliche Darstellungsform für räumliche Gebilde heißt Konstruktion mit Raumprimitiven (Constructive Solid Geometry, CSG). Dabei werden komplexe Geometrische Körper durch mengentheoretische Ausdrücke (Vereinigung, Schnitt und Differenz) über Elementarkörper wie Prismen (Quader, Zylinder, Keile) Tori, Kegel und Kugeln definiert. Eine derartige Konstruktion eines Objektes wird als Konstruktionsbaum beschrieben, bei dem die Blätter von den verwendeten Elementarkörpern belegt sind und die Knoten die über Mengenoperationen resultierenden Blöcke repräsentieren. Die Beschreibung eines Objektes mit Hilfe eines Konstruktionsbaumes ist einfach, aber die graphische Darstellung des Objektes ist rechenaufwendig. Zudem sind Freiformen schwierig einzubeziehen.

3D-Volumenmodell mit Parameterdarstellung 

Eine gebräuchliche Beschreibung räumlicher Objekte bildet die parametrisierte Darstellung, welche ganze Objektfamilien umfaßt. Jedes Element der Familie ist durch eine fixe Anzahl von Parametern charakterisiert. Die parametrisierte Darstellung eignet sich besonders gut für die Variantenkonstruktion. Darunter versteht man das automatische Erzeugen neuer Objekte aufgrund von Parameterwerten. Die rechnerinterne Repräsentation der Objekte ist von der benutzerorientierten Parameterdarstellung abhängig. Sie kann in einer der oben beschriebenen Weisen realisiert werden.
 
 

Prof. Dr.-Ing. D. Donath
E-mail: caad@architektur.uni-weimar.de
 
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© ADOLPH Verlag GmbH - Letztes Update 03.05.2004